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1069开头的短信是中国移动自营的短信网关发来的短信，主要用于服务类消息的发送。关于能否起诉逾期问题，这取决于短信内容以及涉及的债务关系等具体情况。
如果短信是债务逾期提醒，并且确实存在未履行的债务，那么债权人或相关机构是有权起诉的，但仅仅依靠一个1069开头的短信并不能直接决定是否可以起诉，通常需要其他证据，如合同、借款记录等，来证明存在债务关系并且债务人已经逾期未履行债务。
如果收到的是诈骗短信或者骚扰短信，并且不存在实际的债务问题，那么可以考虑向相关部门投诉或者报警处理。
仅供参考，是否起诉应根据实际情况和法律规定来判断，如有法律方面的疑虑或需要进一步的法律建议，建议咨询专业律师。